Mία άσκηση ταλαντώσεων που θα μπορούσε να είναι άσκηση Β Λυκείου….

Λεπτό δαχτυλίδι ακτίνας a  είναι στερεωμένο με το επίπεδό του να είναι οριζόντιο. Φορτίζουμε το δαχτυλίδι ομοιόμορφα με συνολικό φορτίο Q. Στο κέντρο του δαχτυλιδιού τοποθετούμε δεύτερο σημειακό  σώμα  με μάζα Μ και φορτίου –Q. Τη  χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύουμε το σημειακό σώμα  με  αρχική  κατακόρυφη ταχύτητα μέτρου u_o που είναι κάθετη στο επίπεδο του δαχτυλιδιού. Να βρεθούν οι εξισώσεις της απομάκρυνσης της ταχύτητας αλλά και της επιτάχυνσης του σημειακού σωματιδίου με την προϋπόθεση ότι η απομάκρυνση του σημειακού φορτίου από το κέντρο του δαχτυλιδιού είναι πολύ μικρή σε σχέση με την ακτίνα του δαχτυλιδιού.

To δαχτυλίδι βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας.

Δίνεται η σταθερά Κ.

AΠΑΝΤΗΣΗ σε doc                                        AΠΑΝΤΗΣΗ σε pdf

Επαγωγή κύλιση και κοινή ταχύτητα ράβδων

Πάνω σε δύο  οριζόντιες  παράλληλες και  αγώγιμες ταινίες αμελητέας αντίστασης  που απέχουν μεταξύ τους κατά L=1m  μπορούν να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν τέσσερις αγώγιγοι  χωρίς αντίσταση λεπτοί ομογενείς δίσκοι μάζας Μ=0,5Κg και ακτίνας R.Oι δίσκοι είναι ακίνητοι και συνδέονται μεταξύ τους με πολύ λεπτές ράβδους αντίστασης  R₁=1Ω και R₂=4Ω  και μήκους L.

 Με κατάλληλη τρόπο  την t=0 εκτοξεύουμε την πρώτη ράβδο με αρχική ταχύτητα μέτρου uo=2m/s με φορά προς την δεύτερη ράβδο ενώ οι  δύο δίσκοι της πρώτης ράβδου  κυλίονται αυτόματα χωρίς να ολισθαίνουν. Αν το όλο σύστημα βρίσκεται μέσα σε κατακόρυφο ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β =1Τ να βρεθούν:

Α)H τιμή της έντασης του ρεύματος την στιγμή t=0.

B)Το είδος της κίνησης της κάθε ράβδου μαζί με τους δίσκους της.

Γ)H oριακή τιμή της ταχύτητας της κάθε ράβδου

Δ)Η συνολική θερμότητα που θα παραχθεί στο κύκλωμα.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Αλλαγή φύλου στο στερεό ….

Eνα λεπτό σιδερένιο δαχτυλίδι έχει μάζα Μ = 1 kg και ακτίνα R = 0,5 m. O μπάρμπα – Γιάννης ο σιδεράς  πιάνοντας το δαχτυλίδι από δύο αντιδιαμετρικά σημεία για να μετατρέψει το λεπτό δαχτυλίδι σε διπλή λεπτή ράβδο με τα χέρια του θα πρέπει να δαπανήσει ελάχιστη ενέργεια Ε_min = 3π J.Από σημείο Ο της περιφέρειας του δαχτυλιδιού  διέρχεται οριζόντιος άξονας που επιτρέπει το δαχτυλίδι να περιστρέφεται χωρίς τριβές. Από το σημείο Ο εκτοξεύουμε ένα σημειακό σώμα μάζας m = 0,1 kg με αρχική κατακόρυφη ταχύτητα μέτρου υ₀ ώστε να συγκρουσθεί πλαστικά με το αντιδιαμετρικό σημείο του δαχτυλιδιού και τελικά το δαχτυλίδι  μόλις που να έχει μετασχηματιστεί σε λεπτή διπλή ράβδο όπως στο παρακάτω σχήμα. Την στιγμή που το trans-στερεό αποκτά την

Δίσκοι με ιμάντα βγαίνουν τσάρκα σε μη λείο επίπεδο….(part II)

Δύο λεπτοί δίσκοι ίδιας μάζας Μ = 1 kg και ίδιας ακτίνας R = 0,3 m έχουν χαραγμένη στην περιφέρειά τους λεπτό αυλάκι μέσα στο οποίο βρίσκεται μη ελαστικός ιμάντας μήκους L = (3,175 + 0,6π) m.

Ο ιμάντας είναι τεντωμένος μέσα στο αυλάκι κάθε δίσκου ίσα που εφάπτεται με το έδαφος χωρίς να ακουμπά (οριακά) σ’ αυτό. Η τριβή ανάμεσα στον ιμάντα και κάθε δίσκο είναι αρκετά μεγάλη ώστε να μην ολισθαίνει ο ιμάντας στα αυλάκια. Οι δίσκοι είναι ακίνητοι πάνω σε μη λείο οριζόντιο επίπεδο συντελεστή τριβής μ = 0,25. Στο κέντρο του πρώτου δίσκου και την στιγμή t₀ = 0 ασκούμε σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F₁  έτσι ώστε οι δύο δίσκοι να αρχίζουν να κυλίονται ετοιμαζόμενοι και οι δύο να ολισθήσουν πάνω στο οριζόντιο επίπεδο και ο ιμάντας να είναι συνεχώς τεντωμένος. Aν την χρονική στιγμή t = 1 s κοπεί ο ιμάντας, ενώ o πρώτος δίσκος προσκρούσει ακαριαία πάνω σε κατακόρυφο ελαστικό τοίχο και ταυτόχρονα καταργηθεί η δύναμη . Να βρεθούν:

AΠΑΝΤΗΣΗ σε doc                                            AΠΑΝΤΗΣΗ σε pdf 

H άσκηση αφιερώνεται στο Βασίλη Δουκατζή για τις ατελείωτες ώρες δουλειάς...

Δίσκοι με ιμάντα βγαίνουν τσάρκα σε τραχύ επίπεδο….

Δύο λεπτοί δίσκοι ίδιας μάζας Μ=1Κg  και ίδιας ακτίνας R=0,3 m  έχουν χαραγμένη στην περιφέρειά τους  λεπτό αυλάκι μέσα στο οποίο βρίσκεται μη ελαστικό ιμάντα  μήκους L=(3,175+0,6π)m.

Ο ιμάντας  είναι τεντωμένος  και οι δίσκοι είναι ακίνητοι πάνω σε μη   λείο οριζόντιο επίπεδο .

Στο κέντρο του πρώτου δίσκου και την στιγμή t=0 ασκούμε σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F₁=15N  έτσι ώστε οι δύο δίσκοι να αρχίζουν να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν πάνω στο οριζόντιο επίπεδο και  ο ιμάντας να είναι συνεχώς τεντωμένος.

Aν την χρονική στιγμή t=1 s κοπεί ο ιμάντας  ενώ  o πρώτος δίσκος προσκρούσει  ακαριαία πάνω σε κατακόρυφο ελαστικό τοίχο ενώ  ταυτόχρονα καταργηθεί η δύναμη F

Να βρεθούν:

Α)Το μήκος του λεπτού ιμάντα που είναι συνεχώς ακίνητο.

Β)Η κοινή επιτάχυνση των κέντρων μάζας των δύο δίσκων μέχρι την στιγμή t=1s

Γ)Ο  ελάχιστος συντελεστής τριβής ολίσθησης για το οποίο οι δίσκοι κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν.

Αν η Κ.Ε.Ε. αγαπούσε και λίγο τις ταλαντώσεις…

Η  λεπτή ράβδος ΑΓ  του παρακάτω σχήματος έχει μάζα Μ = 1 kg και μήκος L = 1 m ισορροπεί πλάγια σχηματίζοντας γωνία φ (ημφ = 0,6, συνφ = 0,8) με το κατακόρυφο επίπεδο με τη βοήθεια  οριζόντιου μη ελαστικού νήματος  που δένεται  στο σημείο Γ και την βοήθεια άρθρωσης που βρίσκεται στο άλλο άκρο της ράβδου  στο σημείο Α. Στο άκρο Γ της ράβδου στερεώνουμε το ένα άκρο ιδανικού  κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = 100 Ν/m και στην άλλη άκρη του ελατηρίου είναι δεμένο σώμα μάζας m₁ = 1 kg. Ανεβάζουμε το σώμα μάζας m₁ στην θέση όπου το ελατήριο αποκτά το φυσικό του μήκος και την χρονική στιγμή t = 0 αφήνουμε το σώμα ελεύθερο να βρεθούν:

Διπλή κύλιση σε διπλό επίπεδο

 Δύο δίσκοι μάζας m₁ = 0,5 kg και ακτίνας R₁ και μάζας  m₂ = 2 kg και ακτίνας  R₂ ισορροπούν σε δύο οριζόντια μη λεία επίπεδα όπως στο παρακάτω σχήμα. Αβαρές μη ελαστικό νήμα συνδέεται με το κέντρο του πρώτου δίσκου και είναι τυλιγμένο στο δεύτερο δίσκο έτσι ώστε να ξετυλίγεται από αυτόν βρισκόμενο συνεχώς οριζόντιο.Tη χρονική στιγμή t = 0 ασκούμε στο κέντρο του δίσκου οριζόντια σταθερή δύναμη μέτρου F = 6 N  έτσι ώστε οι δύο δίσκοι να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν και ενώ το νήμα να είναι συνεχώς τεντωμένο.